Das Update ist noch nicht ganz abgeschlossen. Testleser melden mir bitte Fehler. Ich selbst möchte im Lauf der nächsten Zeit noch Korrektur lesen, Beschreibungen verbessern und eine beispielhafte Programmentwicklung hinzufügen.

Update:

Die Modernisierung ist abgeschlossen. Der Kurs ist jetzt auf einem neuen Stand von Java.

Das Projekt „Conway’s Game of Life“ wurde hinzugefügt. Ganz am Ende findet sich ein Link zum Download der jar-Datei, die auch die Quelltexte enthält.

Es bleibt, noch den gesamten Kurs auf Rechtschreibfehler durchzusehen. Das sollte bis zum Herbst abgeschlossen sein.

Anyway, the story is that two high school students prove the theorem of Pythagoras with methods „which were thought impossible till now“. In the last step, they used

\sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha).

The claim goes that this prove is based on this identity, and that this was not possible to date. I have to admit, that the computations these students used are quite astonishing and I admire their effort. I wish I had more like those students when I was active.

The truth is, however, that the proof uses similarity heavily. This is a problem because there are easy proofs for the theorem of Pythagoras using similarity only.

The proof of these students uses the same methods as other proofs, plus the additional use of a non-trivial trigonometric identity.

I would certainly reject this as a referee if it contained the claim that the methods are new. But it is a nice computation and as such to be acclaimed.

Of, course I need to explain to you what is going on. It is a bit involved, and I only have access to a secondhand version, but follow me through the reasoning as I understand it.

How the sketch above is done should be self-evident. You just need to know that the green lines and the blue lines are parallel. Thus, the red/blue zigzag line is formed by turning rectangular whenever it meets the black line.

Note, that the black triangle is rectangular. We get

\frac{x}{y} = \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{2ab}{c^2}.

For my argument, it is crucial to notice that we already used the trigonometric identities for sine and cosine in a rectangular triangle, and also the non-trivial trigonometric identity cited above.

In the next step, they compute x and y as an infinite sum. If we look at x, we see that it consists of black segments which become smaller and smaller in a given proportion. The first segment of x has the length

x_1 = \frac{2a}{\cos(\alpha)} = \frac{2ac}{b}.

The first segment of y is c.

y_1 = c.

The length of the next segment is more complicated. Using the second green line segment, we get

y_2 \cos(\alpha) = x_1 \sin(\alpha)

Thus

y_2 = \frac{2 a^2}{b^2} c

We can now compute the shrinking factor by comparing the second blue line with 2a.

\gamma = \frac{\sin(\alpha) y_2}{2a} = \frac{a^2}{b^2}. 

Thus, adding up the infinite sum for x,

x = x_1 (1+\gamma+\gamma^2+\ldots) = \frac{x_1}{1-\gamma} = \frac{2abc}{b^2-a^2}.

And, similar for y,

y = c + \frac{y_2}{1-\gamma^2} = c + \frac{2a^2c}{b^2-a^2} = \frac{(a^2+b^2)c}{b^2-a^2}.

Consequently,

\frac{x}{y} = \frac{2ab}{a^2+b^2}.

If we compare to the formula for x/y above, we get the theorem of Pythagoras.

a^2+b^2 = c^2.

Clearly, this is a nice computation. But what have we actually used?

Indeed, we have used the identities

\sin(\alpha) = \frac{a}{c}, \quad \cos(\alpha) = \frac{b}{c}

in rectangular triangles with sides a, b, c and angle alpha. But if this is valid, we have used the law of similarity, at least for rectangular triangles. This law says, that similar triangles, i.e., triangles with equal angles, have the same proportions between corresponding sides.

Now we have the problem, that there are very easy proofs for the theorem of Pythagoras using similarity only. The easiest one is from the sketch below.

We have three similar triangles here: The big one with sides a, b, c, and the two parts of it. Using similarity, we get

\frac{b}{p} = \frac{c}{b}, \quad \frac{a}{q}=\frac{c}{a}.

Thus, immediately,

a^2+b^2 = pc+qc = (p+q)c = c^2.

By the way, you will also need similarity to prove the trigonometric identity we started with. I leave the details for you to discover. But the basic sketch is the following.

The strange claim that it is impossible to prove the theorem of Pythagoras with trigonometry only is also false. The simplest way I came up with is to use the addition laws for sine and cosine and some facts about Pi. The essential line goes like this.

1 = \sin(\pi/2) = \sin(x+(\pi/2-x)) \\ = \sin(x)\cos(\pi/2-x)+\cos(x)\sin(\pi/2-x) \\ = \sin(x)^2+\cos(x)^2

To prove the last identity, you need to apply the addition law for cosine and sine again.

Here is an interesting article in the Scientific American on math education.

• To Keep Students in STEM fields, Let’s Weed Out the Weed-Out Math Classes

It seems to be based on a study, which claims that an application centered approach can double the interest of the students in the topic and improve the results.

This is nothing new. In fact, I read articles from around 1900 claiming just the same: Public math education should be for applications in physics and other fields, not for mathematicians. If you go through this blog or any other source devoted to math education, you find the same discussion over and over. I don’t know how often I have spent the lunch break with just that topic.

At 1900, math strived to become an axiomatic and logically complete system of reasoning. Even though that idea was shattered by Gödel later, math got more and more abstract, algebraic and guided by abstract functional analysis. Not even the strange consequences of the axiom of choice prevented mathematicians from using it for basic theorems. „It is a heaven that nobody can take away from us“, Hilbert said. So, it is no surprise that applications of mathematics and students of these fields felt uncomfortable in math classes.

However, times have changed long ago. At least, since computers are available, the more abstract aspects of mathematics didn’t make sense any longer for applied sciences. I need to explain this to prevent being misunderstood.

First, let me start to outline a more modern approach to math for applied sciences.

Let us take the topic of differential equations as an example. In the old school, the students learned some tricks to solve simple cases, involving great skill in calculus and learning the right „ansatz“. The existence and uniqueness of the solution was the next target, followed by theorems on stability. I can say, with confidence, that this approach fails on most students of applied sciences. They simply don’t have the skills, and they have no time to acquire them in their packed first semester schedule.

But I know that many profs now take a more relaxed approach for this audience. We can now use the computers in the classroom to use the Euler method to solve and visualize the results and the effects of the step size easily. These numerical methods have the further advantage that they are discrete and can use differences instead of differentials. Looking to a phenomenon in time deltas is always the first step in physics. Differentials are a higher step in abstraction which should be done after the first step. Then, the benefits and the limits of calculus will be apparent to the student.

Only after studying and seeing simple examples, more abstract questions like uniqueness or stability can be discussed. And we have now the tools to demonstrate these issues on the computer in real time.

The same can be done in probability theory. The computer can be easily used to do Monte-Carlo simulations. This not only verifies theoretical results, but also allows getting new ones which cannot be derived with algebraic methods. Moreover, it implants a solid meaning of the term „probability“, which so often is abused and misunderstood leading to self-contradicting cases.

Another change that computers force on us is that skills in computation are no longer essential to solve mathematical problems. This starts in primary classes, where calculators replace the external drill of written computations. Later, we should start to ask ourselves if extensive skill and practice in tricks of calculus is really needed any longer. Low-level computations in the head and an understanding of the sizes of numbers (which most people lack) looks more important to me. And I’d say we should rather concentrate on understanding the logic behind problem-solving and forget the drills. This brings me to my last topic.

I should end this blog entry with a warning: Logical reasoning won’t become easier with computers. From my teaching, I know that the students struggle most with the logic of a scientific idea. Neither can they verbalize the idea in precise form, nor can they apply it. Asking a precise definition of continuity or an eigenvalue is one of the most challenging things you can do in a verbal examination. Asking the students to explain what their computations mean and do, logically, is a good way to see their skills.

Logical reasoning needs to be learned by training and repetition. I cannot stress enough, how important it is for the teacher to not expect the students to immediately understand the meaning of a mathematical statement. Looking back, a teacher should remember that he did not understand most things immediately himself. Everybody struggled with logic at some point. Never forget that!

So, while it is an „old hat“ to talk about a more applied mathematical education for applied sciences, we still need to exploit what the computers can do for math education. And we still face the problem of logic reasoning, which doesn’t teach itself and needs a lot of attention.

Published 2022/03/16.

Ich weiß nicht, wie viele Stunden ich schon mit Kollegen, teils Fachmathematiker, teils Didaktiker, beim Mittagessen über die Mathematikausbildung in der Schule diskutiert habe. Dazu kommen noch lange Diskussionen in Treffen wie der Konferenz der Mathematischen Fachbereiche, wo immer wieder dasselbe Thema hochkam. Ein Dauerbrenner.

Eine Lösung haben wir selten gefunden. Es gibt eine Reihe von Professoren, die schlicht die Meinung vertreten, dass die heutige Generation der Abiturienten „nicht studierfähig“ sei. Diese Ansicht ist so undifferenziert und einseitig, dass sie offensichtlich falsch sein muss. Weder kann man eine ganze Generation über einen Kamm scheren, noch scheinen mir die Ergebnisse der Universitätsausbildung in Deutschland oder Europa und unsere industriellen Erfolge und Forschungserfolge auf ein Disaster dieses Ausmaßes hinzudeuten.

Prof. Krötz ist nur ein weiteres Beispiel für einen Mahner vor dem Untergang des Abendlandes. Sein YouTube Kanal scheint aber mit Tausenden von Abonnenten und Hundertausenden von Views pro Video eine große Reichweite zu haben. Offenbar treibt viele dieselbe Furcht um.

Ein Beispiel für diese Erzählungen ist der Vergleich zwischen den Standards in Indien und Deutschland. Detailliert wird im Video über einen Zulassungstest für Universitäten in Indien berichtet. In der Tat enthält dieser Test unglaublich komplexe Aufgaben, die zudem in kürzester Zeit gelöst werden müssen. Die Rate der erfolgreichen Kandidaten ist folgerichtig klein. Hochgerechnet wären unsere Universitäten leer. Aus dem mäßigen Ergebnis der nicht bestandenen Klausuren schließt das Video aber auf eine deutlich höhere Mathematikbildung in Indien als in Deutschland, was ich nicht nachvollziehen kann.

Denn diese Prüfungen werden in harten und wohl auch kostspieligen Kursen präpariert. Die normale Schulausbildung reicht dazu nicht aus, obwohl sie den Umfang von deutscher Beschulung schon weit überschreitet. Mir sieht diese Prüfung eher nach einem Zulassungssieb aus, mit dem der Zugang zu höherer Bildung reguliert wird. Ich bin ziemlich sicher, dass reiche Inder Wege finden, ihre Kinder an privaten Hochschulen oder im Ausland unterzubringen. Das gleiche Bild bietet sich übrigens in China.

Hier liegt der eine Unterschied zu Europa, wo auf Breitenbildung gesetzt wird. Im Extremfall wird wie im Pisa-Sieger Finnland „kein Kind zurückgelassen“. Für eine Volkswirtschaft und Gesellschaft scheint mir das der bessere Weg zu sein. Und der Erfolg der deutschen Industrie sowie des Forschungsstandorts Europa, insbesondere Deutschlands, gibt mir Recht.

Man sollte auch nicht vergessen, dass die in Indien ausgebildete Elite dann ins Ausland, vor allem in die USA geht, um zu forschen. Indien bietet ihnen noch zu wenig. Die dort tätigen indischen Mathematiker sind großartig, ohne Zweifel. Aber sie wären es auch ohne ein solch restriktives System geworden. Ob Indien oder China wirklich auf dem Weg sind, mit Hilfe von Forschung und Bildung den Westen auf dem Gebiet der Wissenschaft zu überholen, darf zumindest im Beispiel von Indien bezweifelt werden.

Im Video von Prof. Krötz wird dann eine Aufgabe oberflächlich vorgerechnet, die auf mich wegen der lebensfremden Aufgabenstellung und gekünstelten Komplexität geradezu lächerlich wirkt. Sie ist außerdem ein typisches Beispiel von „Alles oder Nichts“. Wenn eine der inversen trigonometrischen Funktionen in den zwei 3×3 Matrizen falsch ausgewertet wird, ist die ganze Aufgabe chancenlos. Ich gebe aber zu, dass ich andere Aufgaben ganz ansprechend fand, zumindest für ein Zielpublikum nach ein oder zwei Semester Mathematik.

Ein weiterer Abschnitt des Videos führt die neue Wokeness vor. Offenbar steht im Entwurf des Curriculums für NRW in der Präambel eine kurze und etwas naive allgemeine Formulierung von Bildungszielen, die mit Mathematik wirklich nichts zu tun haben. Derselbe Abschnitt steht aber vermutlich in allen Curricula und ist als politische Präambel zu lesen. Es folgen darauf seitenlang fachliche Inhalte wie in allen anderen Ländern.

Dann geht es weiter mit einer Demonstration des Verfalls der Schulbildung in Mathematik in Deutschland anhand eines Abschlussexamens der Realschule. In der Tat finden sich dort Aufgaben, bei denen auch ich Zweifel habe, ob sie von heutigen Abiturienten gelöst werden können.

Ob daran eine Verschiebung der Inhalte von Geometrie, Rechnen und Algebra hin zu Stochastik und Textaufgaben alleine schuld sind, kann ich nicht genau sagen.

Ich kann aber jedem versichern, dass die Mathematikkenntnisse der Abiturienten früher in der Masse nicht besser waren. Ich bin alt genug und unterrichte lang genug, um das zu beurteilen. Was sich geändert hat ist, dass die Studierenden die Mathematik nicht mehr einfach als nebensächlich, weil irrelevant, abtun können. „In Mathe war ich immer schlecht.“ Wer hat das noch nicht gehört?

Heute sind die Abiturienten Spezialisten für Prüfungen geworden. Nachdem in der Uni alle Module bestanden werden müssen und alle Noten zählen, kann man es ihnen nicht verdenken, dass sie das tun, was getan werden muss, aber nicht mehr. Wir sind in diesem Punkt eher auf dem indischen Weg, also hin zu Leistung und Leistung alleine.

Möglicherweise hat Prof. Krötz so wie ich Studierende anderer Fakultäten in Mathematik unterrichtet und ist einfach nur enttäuscht, dass diese Studierende sich nicht für die Feinheiten der Mathematik begeistern können, sondern das Fach als eines der sechs, sieben Module ansehen, die sie im ersten Semester bestehen müssen.

Ob das Schielen auf die Eliteauslese eines anderen Landes eine Antwort auf die Probleme ist, die unser Schulsystem tatsächlich hat, darf in jedem Fall bezweifelt werden.